APPROFONDIMENTO
Un modello epidemiologico integrato con dati di mobilità telefonica origine-destinazione a piccola scala spaziale

Il modello proposto nell’ambito di una collaborazione tra TIM e l’Università di Bologna si basa sulla possibilità di raccogliere dati di mobilità attraverso l’attività di telefonia mobile alla scala delle aree censuarie (ACE) con frequenza oraria, per integrare tali informazioni entro modelli matematici di dinamica di popolazione e così simulare la diffusione di un’epidemia.
L’Università di Bologna ha quindi realizzato un sistema dinamico su grafo i cui nodi sono rappresentati dalle ACE georeferenziate nel territorio italiano con connettività pesata in proporzione alla mobilità Origine-Destinazione tra i nodi, mobilità inferita utilizzando dati, anonimi ed aggregati, delle Matrici Origine-Destinazione (MOD) di telefonia mobile.
La dinamica di popolazione all’interno di ciascuna ACE è simulata da un modello tipo SEIR (Susceptible, Exposed, Infectious, Removed) [4, 5], con la possibilità di specificare alcuni parametri in funzione delle caratteristiche sociali e del tessuto urbano dell’area. In particolare, le equazioni di evoluzione del modello epidemiologico per il nodo k-esimo al passo temporale Δt risultano essere:
I modelli dividono la popolazione nelle diverse categorie: Suscettibili “S”, Esposti “E”, Infetti “I”, Asintomatici “A”, Ricoverati in ospedale (o in altre strutture) e in terapia intensiva “RH,T“, ed infine Guariti “G”.
La dinamica delle popolazioni dipende dai flussi di scambio ΦX→Y introdotti secondo lo schema riportato in figura A.
Tali flussi dipendono dai parametri e dalle diverse scale temporali legate ai meccanismi del contagio, dell’incubazione, dello sviluppo dell’infezione e della guarigione.
Nello specifico, la definizione dei flussi tra le diverse categorie avviene secondo due schemi: la transizione tra suscettibili ed esposti è definita in base alla formula
dove si evidenzia la dipendenza dai parametri βI e βA che definiscono la probabilità di avere un contagio quando un individuo sano incontra un infetto o un asintomatico, rispettivamente, e il numero mk che definisce il numero medio di incontri con persone diverse per unità di tempo che un individuo effettua nell’ACE considerata (tale numero può tenere conto dell’attività sociale e della presenza di luoghi di incontro nell’area).
La probabilità di un incontro è calcolata come il prodotto tra la popolazione suscettibile con la frazione di infetti o asintomatici presente nella popolazione. La presenza di una popolazione di esposti, per quanto piccola, può innescare la diffusione dell’epidemia, se il numero medio di contagiati per individuo infetto o asintomatico è superiore all’unità e la crescita è di tipo esponenziale. Solo la riduzione dell’attività sociale locale (ovvero del parametro mk) e la riduzione del numero degli individui suscettibili (perché la popolazione dei guariti è cresciuta a sufficienza) può ridurre il flusso e permettere di raggiungere un massimo nella popolazione degli esposti dopo il quale l’epidemia comincia a regredire (cfr. Fig C).
Tuttavia, affinchè la regressione sia efficace, la riduzione dell’attività sociale (ovvero la restrizione alla mobilità individuale attuata dal decreto ‘#io resto a casa’) deve essere mantenuta fino a che la popolazione degli infettati si riduca a zero, altrimenti la diffusione ricomincia fino al raggiungimento dell’immunità di gregge, ovvero quando il numero dei guariti sarà così elevato da rendere improbabile che un infetto incontri persone da contagiare.
Quest’ultima situazione è il solo equilibrio dinamico stabile che protegge la popolazione da un’eventuale nascita di futuri focolai di infezione. Resta anche possibile un cambiamento nel tempo dei parametri βI e βA per una diminuzione della virulenza dell’epidemia, che favorirebbe un’immunità di gregge con un numero totale di infettati inferiore durante l’epidemia stessa. Gli altri flussi definiti nel modello sono illustrati dalla transizione tra Esposti e Infetti:
Vediamo come tale formula dipenda dalla scala di tempo di incubazione TE della malattia per cui gli individui che esposti al tempo t-TE (che sono contati nel flusso S→E calcolato in quel momento), transitano nella categoria degli infetti in una percentuale α definita dal rapporto statistico tra infetti e asintomatici nella popolazione (per il COVID-19 tale rapporto sembra essere piccolo facendo sì che il contagio sia principalmente diffuso dagli asintomatici).
Avremo quindi una definizione analoga per il flusso tra Esposti e Asintomatici con una percentuale complementare 1-α. In modo simile vengono trattate le altre transizioni: ad esempio, gli individui Infetti vengono ricoverati o vanno in terapia intensiva dopo un tempo caratteristico Ti di sviluppo dei sintomi veri e propri dell’infezione. Il modello matematico si rappresenta mediante equazioni differenziali con ritardi che tengono conto delle varie scale di tempo necessarie per l’evoluzione del contagio e dell’infezione e la guarigione finale.
Da questo punto di vista stiamo parlando di un modello fisico-matematico adattabile a diverse tipologie di epidemia che potrebbe mettere in evidenza diverse caratteristiche dinamiche a seconda del valore attribuito ai vari parametri. Il modello si integra con dati della Matrice Origine-Destinazione (MOD) tra le varie ACE (Aree Censuarie ISTAT) mediante la definizione dei flussi di mobilità μX delle varie categorie considerate, nelle dovute proporzioni secondo le equazioni qui di seguito riportate:
La prima equazione definisce μX come bilancio tra il flusso entrante ed uscente della categoria X nell’ACE k-esimo da e verso gli altri ACE connessi, essendo Pj→k l’elemento della MOD corrispondente. I valori dei flussi μX,k possono essere stimati dai dati di mobilità da telefonia mobile e determinano il meccanismo di diffusione dovuta alla mobilità nell’area considerata. La complessa struttura del territorio urbanizzato in aree come la Pianura Padana definisce un network di mobilità complesso che regola la diffusione dell’epidemia da scala locale (ACE) a quella globale. Il modello simulato risulta quindi una sovrapposizione di una dinamica locale, in cui il contagio si diffonde tra la popolazione per le attività sociali in ciascuna ACE (modello compartimentale SEIR) in funzioni di parametri caratteristici del virus e una dinamica di interazione tra ACE dovuta alla domanda di mobilità per le attività insediate nell’area considerata, che introduce uno scambio tra le popolazioni nei vari ACE secondo una struttura a network complesso. Politiche di isolamento di specifiche sotto-aree possono essere efficaci solo se adattate alla struttura del network di mobilità sottostante. Il risultato è un modello dinamico che simula la diffusione dell’epidemia tenendo conto della mobilità e dell’attività sociale degli individui contagiosi (asintomatici ed infetti). L’integrazione tra le dinamiche di diffusione dell’epidemia con dati di mobilità di telefonia mobile a piccola scala spaziale risulta un approccio innovativo nel campo della modellizzazione epidemiologica.
Il modello implementato in un pacchetto software per la simulazione ha consentito di realizzare uno strumento che consente un’analisi dello stato di fatto della diffusione dell’epidemia nel Nord Italia, basandosi sulle ipotesi che i focolai iniziali siano stati nella zona di Lodi-Codogno e Vo’ Euganeo (PD) e considerando la prevedibilità dell’evoluzione delle varie popolazioni, in particolare della domanda di ospedalizzazione dovuta agli infetti con sintomi gravi. Inoltre, il modello implementato consente di studiare gli scenari possibili per comprendere gli effetti a lungo termine delle politiche di contenimento della mobilità individuale. Le caratteristiche di un tale strumento sono illustrate nelle figure B e C. I parametri utilizzati dal modello sono stati fissati in base agli andamenti osservati e ai dati riportati in letteratura [6].
Nel primo caso in Figura B si vede come un’area comprendente la provincia di Lodi e Milano possa essere stata soggetta ad una rapida diffusione del virus nelle prime due settimane di Febbraio 2020 per la stretta interconnessione dell’area dovuta all’intensa mobilità nella Pianura Padana il cui tessuto urbano non ha soluzione di continuità. Nella seconda figura mostriamo un’ipotesi di evoluzione delle popolazioni nella stessa area qualora non si fosse intervenuti con misure di contenimento della mobilità. In particolare, si evidenziano gli andamenti previsti per le classi degli infetti e ricoverati in terapia intensiva in un arco temporale di 12 settimane. Si nota un picco previsto di 105 individui che necessitano di una terapia intensiva dopo 9 settimane.
armando.bazzani@unibo.it (1)
sandro.rambaldi@unibo.it (1)
enrico.lunedei@unibo.it (1)
daniel.remondini@unibo.it (1)
francesco.durazzi2@unibo.it (1)
gastone.castellani@unibo.it (2)
(1) Dipartimento di Fisica e Astronomia - UNIBO
(2) Dipartimento di Medicina Specialistica, Diagnostica e Sperimentale - UNIBO