Il modello proposto nell’ambito di una collaborazione tra TIM e l’Università di Bologna si basa sulla possibilità di raccogliere dati di mobilità attraverso l’attività di te­lefonia mobile alla scala delle aree censuarie (ACE) con frequenza oraria, per integrare tali informazioni entro modelli matematici di dinamica di popolazione e così simulare la diffusione di un’epidemia.

L’Università di Bologna ha quindi realizzato un sistema dinamico su grafo i cui nodi sono rappresentati dalle ACE georeferenziate nel territorio italiano con connet­tività pesata in proporzione alla mobilità Origine-De­stinazione tra i nodi, mobilità inferita utilizzando dati, anonimi ed aggregati, delle Matrici Origine-Destinazio­ne (MOD) di telefonia mobile.

La dinamica di popolazione all’interno di ciascuna ACE è simulata da un modello tipo SEIR (Susceptible, Ex­posed, Infectious, Removed) [4, 5], con la possibilità di specificare alcuni parametri in funzione delle caratte­ristiche sociali e del tessuto urbano dell’area. In par­ticolare, le equazioni di evoluzione del modello epide­miologico per il nodo k-esimo al passo temporale Δt risultano essere:

I modelli dividono la popolazione nelle diverse catego­rie: Suscettibili “S”, Esposti “E”, Infetti “I”, Asintomatici “A”, Ricoverati in ospedale (o in altre strutture) e in te­rapia intensiva “R_H,T“, ed infine Guariti “G”.

La dinamica delle popolazioni dipende dai flussi di scambio Φ_X→Y introdotti secondo lo schema riportato in figura A.

Tali flussi dipendono dai parametri e dalle diverse scale temporali legate ai meccanismi del contagio, dell’incu­bazione, dello sviluppo dell’infezione e della guarigio­ne.

Nello specifico, la definizione dei flussi tra le diverse categorie avviene secondo due schemi: la transizione tra suscettibili ed esposti è definita in base alla formula

dove si evidenzia la dipendenza dai parametri β_I e β_A che definiscono la probabilità di avere un contagio quando un individuo sano incontra un infetto o un asintomatico, rispettivamente, e il numero m_k che de­finisce il numero medio di incontri con persone diverse per unità di tempo che un individuo effettua nell’ACE considerata (tale numero può tenere conto dell’attività sociale e della presenza di luoghi di incontro nell’area).

La probabilità di un incontro è calcolata come il prodot­to tra la popolazione suscettibile con la frazione di in­fetti o asintomatici presente nella popolazione. La pre­senza di una popolazione di esposti, per quanto piccola, può innescare la diffusione dell’epidemia, se il numero medio di contagiati per individuo infetto o asintomatico è superiore all’unità e la crescita è di tipo esponenziale. Solo la riduzione dell’attività sociale locale (ovvero del parametro m_k) e la riduzione del numero degli individui suscettibili (perché la popolazione dei guariti è cresciuta a sufficienza) può ridurre il flusso e permettere di rag­giungere un massimo nella popolazione degli esposti dopo il quale l’epidemia comincia a regredire (cfr. Fig C).

Tuttavia, affinchè la regressione sia efficace, la riduzione dell’attività sociale (ovvero la restrizione alla mobilità in­dividuale attuata dal decreto ‘#io resto a casa’) deve es­sere mantenuta fino a che la popolazione degli infettati si riduca a zero, altrimenti la diffusione ricomincia fino al raggiungimento dell’immunità di gregge, ovvero quan­do il numero dei guariti sarà così elevato da rendere im­probabile che un infetto incontri persone da contagiare.

Quest’ultima situazione è il solo equilibrio dinamico sta­bile che protegge la popolazione da un’eventuale nasci­ta di futuri focolai di infezione. Resta anche possibile un cambiamento nel tempo dei parametri β_I e β_A per una diminuzione della virulenza dell’epidemia, che favorireb­be un’immunità di gregge con un numero totale di in­fettati inferiore durante l’epidemia stessa. Gli altri flussi definiti nel modello sono illustrati dalla transizione tra Esposti e Infetti:

Vediamo come tale formula dipenda dalla scala di tem­po di incubazione T_E della malattia per cui gli individui che esposti al tempo t-T_E (che sono contati nel flusso S→E calcolato in quel momento), transitano nella cate­goria degli infetti in una percentuale α definita dal rap­porto statistico tra infetti e asintomatici nella popolazio­ne (per il COVID-19 tale rapporto sembra essere piccolo facendo sì che il contagio sia principalmente diffuso da­gli asintomatici).

Avremo quindi una definizione analoga per il flusso tra Esposti e Asintomatici con una percentuale comple­mentare 1-α. In modo simile vengono trattate le altre transizioni: ad esempio, gli individui Infetti vengono ri­coverati o vanno in terapia intensiva dopo un tempo ca­ratteristico T_i di sviluppo dei sintomi veri e propri dell’in­fezione. Il modello matematico si rappresenta mediante equazioni differenziali con ritardi che tengono conto delle varie scale di tempo necessarie per l’evoluzione del contagio e dell’infezione e la guarigione finale.

Da questo punto di vista stiamo parlando di un mo­dello fisico-matematico adattabile a diverse tipologie di epidemia che potrebbe mettere in evidenza diverse caratteristiche dinamiche a seconda del valore attri­buito ai vari parametri. Il modello si integra con dati della Matrice Origine-Destinazione (MOD) tra le varie ACE (Aree Censuarie ISTAT) mediante la definizione dei flussi di mobilità μ_X delle varie categorie considera­te, nelle dovute proporzioni secondo le equazioni qui di seguito riportate:

La prima equazione definisce μ_X come bilancio tra il flus­so entrante ed uscente della categoria X nell’ACE k-esimo da e verso gli altri ACE connessi, essendo P_j→k l’elemento della MOD corrispondente. I valori dei flussi μ_X,k posso­no essere stimati dai dati di mobilità da telefonia mobile e determinano il meccanismo di diffusione dovuta alla mobilità nell’area considerata. La complessa struttura del territorio urbanizzato in aree come la Pianura Pada­na definisce un network di mobilità complesso che regola la diffusione dell’epidemia da scala locale (ACE) a quella globale. Il modello simulato risulta quindi una sovrappo­sizione di una dinamica locale, in cui il contagio si diffon­de tra la popolazione per le attività sociali in ciascuna ACE (modello compartimentale SEIR) in funzioni di parametri caratteristici del virus e una dinamica di interazione tra ACE dovuta alla domanda di mobilità per le attività in­sediate nell’area considerata, che introduce uno scambio tra le popolazioni nei vari ACE secondo una struttura a network complesso. Politiche di isolamento di specifiche sotto-aree possono essere efficaci solo se adattate alla struttura del network di mobilità sottostante. Il risultato è un modello dinamico che simula la diffusione dell’epi­demia tenendo conto della mobilità e dell’attività sociale degli individui contagiosi (asintomatici ed infetti). L’inte­grazione tra le dinamiche di diffusione dell’epidemia con dati di mobilità di telefonia mobile a piccola scala spaziale risulta un approccio innovativo nel campo della modelliz­zazione epidemiologica.

Il modello implementato in un pacchetto software per la simulazione ha consentito di realizzare uno strumento che consente un’analisi dello stato di fatto della diffusio­ne dell’epidemia nel Nord Italia, basandosi sulle ipotesi che i focolai iniziali siano stati nella zona di Lodi-Codo­gno e Vo’ Euganeo (PD) e considerando la prevedibilità dell’evoluzione delle varie popolazioni, in particolare della domanda di ospedalizzazione dovuta agli infetti con sin­tomi gravi. Inoltre, il modello implementato consente di studiare gli scenari possibili per comprendere gli effetti a lungo termine delle politiche di contenimento della mo­bilità individuale. Le caratteristiche di un tale strumento sono illustrate nelle figure B e C. I parametri utilizzati dal modello sono stati fissati in base agli andamenti osserva­ti e ai dati riportati in letteratura [6].

Nel primo caso in Figura B si vede come un’area compren­dente la provincia di Lodi e Milano possa essere stata sog­getta ad una rapida diffusione del virus nelle prime due settimane di Febbraio 2020 per la stretta interconnessio­ne dell’area dovuta all’intensa mobilità nella Pianura Pa­dana il cui tessuto urbano non ha soluzione di continuità. Nella seconda figura mostriamo un’ipotesi di evoluzione delle popolazioni nella stessa area qualora non si fosse intervenuti con misure di contenimento della mobilità. In particolare, si evidenziano gli andamenti previsti per le classi degli infetti e ricoverati in terapia intensiva in un arco temporale di 12 settimane. Si nota un picco previsto di 10⁵ individui che necessitano di una terapia intensiva dopo 9 settimane.

armando.bazzani@unibo.it (1)
sandro.rambaldi@unibo.it (1)
enrico.lunedei@unibo.it (1)
daniel.remondini@unibo.it (1)
francesco.durazzi2@unibo.it (1)
gastone.castellani@unibo.it (2)

(1) Dipartimento di Fisica e Astronomia - UNIBO
(2) Dipartimento di Medicina Specialistica, Diagnostica e Sperimentale - UNIBO